Математика [Тема 1-9] (ответы на тесты Синергия / МОИ / МТИ / МосАП, январь 2024)

• Введение в курс
• Тема 1. Алгебра матриц
• Тема 2. Теория определителей
• Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
• Тема 4. Применение матричного исчисления к решению некоторых экономических и прикладных задач предпринимательства
• Тема 5. Введение в математический анализ
• Тема 6. Теория пределов
• Тема 7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
• Тема 8. Приложения производной
• Тема 9. Интегральное исчисление функции одной переменной
• Заключение
• Итоговая аттестация

Верное свойство определенного интеграла: …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ∫(a..b) f(x)dx = −∫(b..a) f(x)dx
• ∫(a..b) f(x)dx = 1
• ∫(a..b) cf(x)dx = ∫(a..b) f(x)dx
• ∫(a..b) f(x)dx = −∫(a..b) f(x)dx

Верной формулой является равенство …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (u / v)' = u' / v'
• (u / v)' = (u'v − uv') / v²
• (u / v)' = (u'v + uv') / v²
• (u / v)' = u / v

Геометрически определенный интеграл представляет собой …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• поиск площади криволинейной трапеции
• поиск семейства интегральных кривых
• изображение криволинейной трапеции
• поиск углового коэффициента касательной к графику функции

Дан матричный многочлен ⨍ (A) = 3A2 – 5A +2. Нужно вычислить его значение. Приведите метод решения.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Найти значение A2, умножить на 3, умножить матрицу А на -5, сложить полученные матрицы, прибавить к ней матрицу с элементами главной диагонали равной 2.
• Найти значение A2, умножить на 3, умножить матрицу А на -5, сложить элементы полученных матриц и к данному значению добавить 2.
• Найти обратную матрицу, умножить ее на 3, умножить матрицу А на -5, сложить элементы полученных матриц и к данному значению добавить 2.

Дана матрица |А| =│(1, 0, 1), (2, 3, 5), (0, 4, 8)│. Существует ли обратная матрица для данной матрицы и почему?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Существует, та как ее определитель отличен от нуля.
• Не существует, так как ранг матрицы равен 3.
• Существует, так как можно транспонировать матрицу.

Дана матрица А = ((1, 0, 1), (2, 3, 5), (0, 4, 8)) Чему равен определитель данной матрицы? Будет ли он совпадать с определителем транспонированной матрицы?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Определитель равен 12, будет совпадать.
• Определитель равен 12, совпадать не будет.
• Определитель равен 24, будет совпадать.
• Определитель равен 24, совпадать не будет.

Дана матрица А = ((1, 1, −2), (1, 1, 2), (1, 2, 1)). Производя над ней операцию транспонирования, была получена матрица Аᵀ = ((1, 1, 1), (1, 1, 2), (−2, 2, 1). Каким образом была получена матрица АТ

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Сложили строки и столбцы матрицы.
• Возвели матрицу в степень.
• Строки и столбцы поменяли местами с сохранением порядка.

Дана матрица A = ((1, 0, 1), (2, 3, 5), (0, 4, 8)). Найдем определитель матрицы: |A| = 1 ⋅ 3 ⋅ 8 + 0 ⋅ 5 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 ⋅ 0 − 1 ⋅ 5 ⋅ 4 − 0 ⋅ 2 ⋅ 8 = 24 + 0 + 8 − 0 − 20 − 0 = 12.Как был найден определитель матрицы?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• При помощи теорема Лапласа.
• При помощи элементарных преобразований.
• При помощи формулы треугольника.

Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2 Решая уравнение методом Гаусса, какие действия необходимо совершить?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Записать расширенную матрицу системы; выполнить алгебраические преобразования; получить эквивалентную систему уравнений; вычислить значение свободных неизвестных.
• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные преобразования; получить эквивалентную систему уравнений; совершить обратный ход Гаусса, вычислив значения неизвестных.
• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные преобразования; получить эквивалентную систему уравнений; вычислить значения неизвестных путем подбора.

Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2. Сколько решений имеет эта система уравнений и почему?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Система имеет 1 решение, так как система совместна.
• Система имеет 3 решения, так как в системе 3 неизвестных.
• Система имеет бесконечное число решений, так как система несовместна.

Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2. Решая уравнение методом Крамера, какие действия необходимо совершить?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные преобразования; получить эквивалентную систему уравнений.
• Записать матричное уравнение; вычислить определитель матрицы; найти обратную матрицу; найти алгебраические дополнения; решить систему матричного уравнения.
• Найти определитель матрицы; найти значения n определителей путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; найти значение неизвестных через отношения советующих полученных определителей к определителю изначальной матрицы.

Даны следующие матрицы: А₂ = ((1, 2), (3, 6)), В₂ = ((2, 6), (−1, 3)). Над данными матрицами было произведено алгебраическое действие, в результате которого получена матрица C₂ = ((3, 8), (2, 9)). Какое алгебраическое действие было произведено?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Умножение матрицы на матрицу
• Сложение матрицы с матрицей
• Разность матриц

Если (x₁; x₂; x₃) это решение системы уравнений {x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 5, x₂ + 4x₃ = 7, x₃ = 2, то сумма x₁ + x₂ + x₃ равна …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• -2
• -1
• 1
• 2

Если дана производная функции f(x): f´(x) = x (3 – x), то можно утверждать, что функция f(x) убывает на …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (0; 3)
• (-3; 0)
• (0; +∞)
• (-∞; 0) ∪ (3; +∞)

Если функция f(x) — бесконечно большая, то обратная ей функция 1/f(x) —

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ограниченная
• бесконечно большая
• бесконечно малая
• неограниченная

Если функция y = f(x) определена на некотором множестве D, то она называется … функцией на этом множестве, если ∃M > 0 : ∀x ∈ D ⇒ | f(x)| ≤ M

Тип ответа: Текcтовый ответ

К замечательным пределам относится …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• lim (1 + 1/x)ˣ = 1, x⟶∞
• lim (1 + α)^(1/α) = 1, α⟶0
• lim (sinx / x) = 1, x⟶0
• lim ((eˣ − 1) / x) = e, x⟶0

Квадратная матрица Аn называется … матрицей, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю

Тип ответа: Текcтовый ответ

Линейность системы уравнений означает, что все неизвестные в каждом уравнении системы содержатся в … степени

Тип ответа: Текcтовый ответ

Матрица … является единичной

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ((1, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 0))
• ((0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0))
• ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
• ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0))

Матрица А с неотрицательными элементами является … матрицей, если сумма элементов по любому ее столбцу не превосходит единицы, причем хотя бы для одного столбца сумма элементов строго меньше единицы

Тип ответа: Текcтовый ответ

Матрицу А называется … с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В

Тип ответа: Текcтовый ответ

Неверно, что операция транспонирования матриц обладает свойством …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (Аᵀ)ᵀ = А
• (А + В)ᵀ = Аᵀ + Вᵀ
• (А*В)ᵀ=Вᵀ *Aᵀ
• (A/B)ᵀ = Aᵀ/Bᵀ

Неверно, что существует такой вид асимптот, как … асимптоты

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• вертикальные
• наклонные
• горизонтальные
• прямые

Областью значений функции y = x2 - 2x +3 является …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• [3; +∞)
• [2; +∞)
• (2; 3)
• (-3; +∞)

Областью определения функции у = √(x² − 4) является …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• [-2; 2]
• (-∞; -2) ∪(2; +∞)
• (-2; 2)
• (-∞; -2] ∪[2; +∞)

Производная … порядка функции у = 8х2 + 3 будет равна 0

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• первого
• второго
• третьего
• четвертого

Пусть дана матрица А = ((−3, 5, 1), (0, 2, −6), (3, 7, −5)), тогда элемент данной матрицы a₃₂ равен

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• -6
• -5
• 7
• 3

Пятый член последовательности {xn} xn = n2 + 2n + 3 равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 17
• 25
• 23
• 38

Расположите в логической последовательности этапы преобразования неопределенного интеграла ∫ sin2xsin3xdx:

Тип ответа: Сортировка

• 1 1/2 ⋅ ∫ [−cos(2 + 3)x + cos(2 − 3)x]dx
• 2 −1/2 ⋅ ∫ cos5xdx + 1/2 ⋅ ∫ cosxdx
• 3 −1/2 ⋅ 1/5 ⋅ sin5x + 1/2 ⋅ sinx + C
• 4 −1/10 ⋅ sin5x + 1/2 ⋅ sinx + C

Расположите данные выражения для системы линейных уравнений {2x₁ + 7x₂ + 3x₃ + x₄ = 6, 3x₁ + 5x₂ + 2x₃ + 2x₄ = 4, 9x₁ + 4x₂ + x₃ + 7x₄ = 2. в порядке «основная матрица системы, расширенная матрица системы, матрица неизвестных, матрица правой части»:

Тип ответа: Сортировка

• 1 ((2, 7, 3, 1), (3, 5, 2, 2), (9, 4, 1, 7))
• 2 ((2, 7, 3, 1, 6), (3, 5, 2, 2, 4), (9, 4, 1, 7, 2))
• 3 ((x₁), (x₂), (x₃), (x₄))
• 4 ((6), (4), (2))

Расположите значения числовых выражений в порядке убывания:

Тип ответа: Сортировка

• 1 27^(2/3) − (−2)⁻² + (3 3/8)^(−1/3)
• 2 25^(1/5) ⋅ 125^(1/5)
• 3 (√(3 + √5)) − √(3 − √5))²
• 4 (7^(7/3) ⋅ 7^(−4/3)) / 7²

Расположите матрицы в порядке убывания их следов (от большего значения следа к меньшему):

Тип ответа: Сортировка

• 1 ((1, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8), (9, −9, 9, 0), (0, 0, 1, 0))
• 2 ((5, 9, 0, 12), (0, 10, 32, −6), (1, 23, −4, 4), (15, −2, 3, 2))
• 3 ((0, 3, −1), (1, 4, 2), (2, 5, 3))
• 4 ((1, 1, 2), (2, 2, 2), (3, 3, −1))

Расположите множества в порядке возрастания их мощности:

Тип ответа: Сортировка

• 1 {99; 999; 9999}
• 2 {треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник}
• 3 {10; 100; 1000; 10000; 100000}
• 4 {а, б, в, г, …, э, ю, я}

Расположите характеристики функции у = -х3 + 3х2 + 1 в порядке «стационарные точки; точка минимума; точка максимума; минимальное значение функции»:

Тип ответа: Сортировка

• 1 0; 2
• 2 0
• 3 2
• 4 1

Система m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными x₁, x₂, …, xₙ {a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ = b₂, …, aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + … + aₘₙxₙ = bₘ называется ... системой, если хотя бы один свободный член b₁, b₂, …, bₘ не равен

Тип ответа: Текcтовый ответ

Точка графика непрерывной функции y = f(x), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Точка максимума и точка минимума объединяются общим термином: «точки …»

Тип ответа: Текcтовый ответ

Упорядочьте следующие функции по возрастанию их производных в точке х = 0.

Тип ответа: Сортировка

• 1 i(x) = e⁻⁵ˣ
• 2 h(x) = 2x² – 4x + 3
• 3 g(x) = 2x + 3sin x
• 4 f(x) = х³ – 3х² + 5х – 2

Установите правильный порядок пропущенных слов в приведенной ниже формулировке теоремы Кронекера–Капелли, от (1) до (4): Система ___(1) алгебраических уравнений ___(2) тогда и только тогда, когда ___(3) основной матрицы системы равен рангу ___(4) матрицы этой системы.

Тип ответа: Сортировка

• 1 линейных
• 2 совместна
• 3 ранг
• 4 расширенной

Установите правильный порядок пропущенных слов в приведенном ниже тексте теоремы «Необходимое условие интегрируемости», от (1) до (4): Если функция у = f(x) ___(1) на [a, b], то она ___(2) на этом отрезке, то есть для нее существует ___(3) интеграл ___(4)

Тип ответа: Сортировка

• 1 непрерывна
• 2 интегрируема
• 3 определенный
• 4 ∫(a..b) f(x)dx = −∫(b..a) f(x)dx

Установите правильный порядок пропущенных слов в приведенном ниже тексте, от (1) до (4): Для производства продукции j-ой отрасли объема xj нужно использовать продукцию i-ой отрасли объема аij • xi где аij – ___(1) число. При таком допущении технология производства принимается ___(2), а само допущение – ___(3) линейности. При этом числа аij называются коэффициентами ___(4) затрат.

Тип ответа: Сортировка

• 1 постоянное
• 2 линейной
• 3 гипотезой
• 4 прямых

Установите правильный порядок пропущенных слов в приведенном ниже тексте, от (1) до (4): Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом случае, когда известен вектор ___(1) выпуска Х, требуется рассчитать вектор ___(2) потребления Y. Во втором случае уравнение ___(3) баланса используется для целей ___(4) со следующей формулировкой задачи: для периода времени T известен вектор конечного потребления Y и требуется определить вектор Х валового выпуска.

Тип ответа: Сортировка

• 1 валового
• 2 конечного
• 3 межотраслевого
• 4 планирования

Установите соответствие между видом матрицы и примером матрицы данного вида:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Матрица-строка
• B. Матрица-столбец
• C. Квадратная матрица
• D. Прямоугольная матрица
• E. (a₁₁, a₁₂, a₁₃)
• F. ((a₁₁), (a₂₁), (a₃₁))
• G. ((a₁₁, a₁₂), (a₂₁, a₂₂))
• H. ((a₁₁, a₁₂, a₁₃), (a₂₁, a₂₂, a₂₂))

Установите соответствие между действием, выполняемым над множествами А = {1; 2; 3; 4; 5} и В = {3; 4; 5; 6; 7}, и результатом этого действия:

Тип ответа: Сопоставление

• A. A ∪ B
• B. A ∩B
• C. A B
• D. A̅
• E. {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
• F. {3; 4; 5}
• G. {1; 2]
• H. {6; 7}

Установите соответствие между пределом функции и его значением:

Тип ответа: Сопоставление

• A. lim ((x² − 9) / (x + 4)), x⟶0
• B. lim (sin7x / 7), x⟶0
• C. lim ((1 − cos2x) / x²), x⟶0
• D. lim (ln(x + 1) / x), x⟶0
• E. -2,25
• F. 7
• G. 2
• H. 1

Установите соответствие между системой уравнений и количеством ее решений:

Тип ответа: Сопоставление

• A. {x + y = 1
• B. {x + 2y = 0, x + 2y = 4
• C. {x + 2y = 0, 2y = 2
• D. имеет бесконечное множество решений
• E. не имеет решений
• F. имеет единственное решение

Установите соответствие между элементарной функцией и значением ее производной:

Тип ответа: Сопоставление

• A. у = С
• B. у = x
• C. у = x²
• D. у = ex
• E. 0
• F. 1
• G. 2х
• H. eˣ

Установите соответствие теоремы и ее формулировки:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Теорема Ферма
• B. Теорема Ролля
• C. Теорема Лагранжа
• D. Теорема Коши
• E.Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, имеет экстремум в этой точке и дифференцируема в ней; тогда f'(x₀) = 0
• F. Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (а, б) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a) = f(b); тогда существует хотя бы одна точка с ∈(a, b), в которой производная f'(c) = 0
• G. Пусть функция у = f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b); тогда найдется хотя бы одна точка с ∈ (а, б) такая, что выполняется равенство f(б) − f(a) = f(c) ⋅ (b − a)
• H. Пусть функции y = f(x) и у = g(x) непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем g'(x) ≠ 0 для х ∈ (a, b); тогда найдется хотя бы одна точка с ∈ (a, б) такая, что выполняется равенство (f(b) − f(a)) / (g(b) − g(a)) = f'(c) / g'(c)

Функции вида y = xα, α ∈ ℝ; y = ax, a ≠ 1, a > 0; y = loga(x), a ≠ 1, a > 0; у = sin ⁡x, у = cos ⁡x, у = tg ⁡x, у =ctg ⁡x; у = arcsin⁡ x, у = arccos⁡ x, у = arctg ⁡x, у =arcctg⁡x относятся к основным … функциям

Тип ответа: Текcтовый ответ

Функция, заданная в виде двух уравнений {x = x(t), y = y(t), где t — вспомогательная переменная, называется ... заданной

Тип ответа: Текcтовый ответ